本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019）露出 オナニー，作家：含英

想必你一定传奇过四色定理，这个起初源于给舆图上国度上色的真义问题被誉为世界近代三大数知识题之一。数学家用了 100 多年的时候才给出了信得过的阐明，所用的遐想机阐明也登上了数学舞台。如今，在图论范围，还有许多由四色定理繁衍出来的真义问题。举例，一个发源于收音机播送电台的问题：在一个无穷大的网格纸上填入数字，磨灭个数字之间的“距离”必须大于这个数字自己，那么最少需要几许个数字能掩盖通盘平面？

撰文 | 含英

年幼的你会对着书斋墙面上的世界舆图发愣吗？注释着那五颜六色的图案，畅想着我方异日有一天能够环游世界。而在 19 世纪的英国，一个陈旧且经典的数知识题 —— 着色问题，就出身于这么一份注释。

图 1：世界舆图丨图源：当然资源部圭臬舆图管事系统四色问题的发源

故事初始于 1852 年，英国舆图制图师弗朗西斯・古特里（Francis Guthrie）在不雅察舆图时建议了一个“给舆图着色”的问题。他发现只需要四种颜料就不错对舆图进行着色，使得相邻的国度颜料不同。但令他不明的是，这个数字“4”是否是最优的呢？于是他向他的弟弟弗雷德里克・古特里（Frederick Guthrie）过头一又友们寻求匡助。在交流中，他们渐渐相识到这个问题与数学有着真切的相干。于是弗雷德里克向他的敦朴，伦敦大学学院的数学家奥古斯塔斯・德摩根（Augustus De Morgan）寻求匡助。德摩根教师尝试之后也窝囊为力，于是写信将这个问题转交给了他的好友，爱尔兰数学家威廉・哈密顿（William Hamilton）教师。缺憾的是，充满聪慧的哈密顿对这个问题并莫得太大的兴趣。

摩尔根在信中写说念：“一位学生今天让我阐明一个事实，咱们不知说念它是否可行为一个事实。他说将平面上的一个图形，淘气诀别红有限个部分并对其每个部分染色，使得相邻部分具有不同的颜料，况且只可用四种颜料。你以为若何？若是这个问题成立，它能引起东说念主们眷注吗？”

起原，这个“听起来浅易易懂的”问题并莫得引起数学家们的平淡眷注。直到 1878 年，英国数学家阿瑟・凯莱（Arthur Cayley）在伦敦数学会上厚爱布告并定名这一问题为“四色问题”，这才引发了寰球的求解生机。在那时，数学家们遍及以为四色问题不会太难，应该很快就能处罚。关联词，事与愿违，从“四色揣测”到“四色定理”，履历了漫长的 120 多年，致使一度与“费尔马大定理”、“哥德巴赫揣测”同称世界上最知名的三大数学困难 。

图 2：数学家凯莱 图源：Smithsonian Institution Librarie四色定理的百年阐明

四色问题的平淡发扬中有许多无效信息，举例每个国度的时事、面积、经纬度等等。独一重大的信息即是 —— 相邻（即两个区域分享磨灭段界限）。忽略掉这些无效信息，咱们来望望若何用轮廓的图论（Graph Theory）谈话来严格界说这个问题。

给定一个图（graph）G= (V， E)，其中非空聚合 V 是特地（vertex）集，E 是边（edge）集。这里其实要用到对偶图的办法，也就是说，用一个特地 ν∈V 来暗意舆图上的一个国度；用一条边 e12=(ν1， ν2)∈E 来暗意两个特地（国度）ν1， ν2 是相邻的。底下咱们只沟通浅易无向图 —— 图的边是无向的，即 e12=e21；莫得相通边，即联接特地 ν1， ν2 的边最多只须一条；莫得自环，即不存在只联接一个特地的边。

于是四色问题便轮廓成了一个揣测：对一个浅易无向图 G=(V， E) 的特地进行着色，使相邻的点颜料不同，那么最少只需要 4 种颜料。这里最少所需的颜料数咱们称之为 —— 色数（chromatic number）。

起原东说念主们只可通过手工遐想，得出关于一个包含了 96 个国度的舆图，四色揣测成立。故事的滚动点发生在 1879 年，一位英国讼师阿福瑞德・肯普（Alfred Kempe）为四色揣测的阐明提供了重大的想路。肯普建议，任何一个浅易无向图 G=(V， E) 中至少有一个特地具有 2、3、4 或 5 个相邻特地（一个国度至少有 2、3、4 或 5 个邻国）。这个命题其实是欧拉公式的应用。假定图 G=(V， E) 中有 ν 个特地、e 个边和 f 个面。起初任何一个面至少有三条边，两个相邻的面共用一条边，每条边上有 2 个特地，因此 2e=3f。若是每个特地齐有至少 6 条边，那么 2e≥6ν。但欧拉公式告诉咱们，ν-e+f=2。这就推出了一个矛盾。

肯普将上述最多具有 5 个相邻点的特地过头相应的边定名为“弗成幸免的构型”。接下来他哄骗归纳法，移颤抖这个特地以及相邻的边，获取一个子图 G'。若是这个子图 G' 自在四色揣测，那么称原图 G' 是可约的，同期将移颤抖的特地过头边称为“可约构型”。肯普以为，只须能阐明扫数弗成幸免的构型齐是可约构型（也就是说移颤抖对应的特地过头边后不错四色），那么四色揣测势必成立。用数学的谈话讲，假定包含 n 个特地的图自在四色揣测，那么关于 n+1 个特地的图，必有一个特地过头边是弗成幸免构型。若是相邻点是三色的，那么给移颤抖的点涂上第四种颜料，论断当然成立；不然，需要对原图再行涂色，争取开释这个特地，使它的相邻点不错三色，为此肯普遐想了“肯普链”的门径。

关联词，在肯普的收尾公布 11 年后，东说念主们发现了其中有一个致命的、无法建立的乖张。但肯普的想路照旧为后世提供了重大的碎裂口，东说念主们延续他的门径连续阐明了 22 国、39 国、52 国以下的舆图不错四色。直到 1976 年，好意思国数学家肯尼斯・阿佩尔（Kenneth Appel）与沃尔夫格・哈肯（Wolfgang Haken）在好意思国伊利诺大学的两台遐想机上，耗时 1200 个小时，终于完成了四色定理的阐明。他们延续并更正了肯普的门径，将扫数的 1936 个弗成幸免构型完全成列出来，并挨次对其考据了可约性。这项责任震憾了世界，不单是是因为他们阐明一个数学困难，更重大的是这告诉东说念主们遐想机也能用于数学的逻辑阐明。在两位数学家将盘问收尾公众于世确当天，当地邮局为了庆祝，在扫数邮件上齐加盖了“四色饱和”的特制邮戳。

图 3 在四色定理阐明发表后的许多年里，伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学系在外发邮件上齐盖上了“四色饱和”的邮戳。丨图源：las.illinois.edu

图 4：数学家哈肯（Wolfgang Haken，1928-2022）和阿佩尔（Kenneth Appel，1938-2013） 丨图源：legacy.com/ mathyear2013.blogspot.com

事实上，阿佩尔与哈肯并不是最早坚韧到要用遐想机补助处罚四色揣测的东说念主。早在 1950 年，德国数学家亨利・希许（Heinrich Heesch）就曾量度，只须借助于能处理巨量数据的强盛遐想安装能力对四色揣测中的有限可是数目巨大的不同构型进行覆按。在遐想机本事还未茁壮兴起的年代，希许的想想十分超前。他是第一个提倡并试图哄骗遐想机来攻克四色问题的数学家，同期他也清翠地将我方的许多主见与哈肯交流，不错说他对四色揣测的阐明起到了极大的股东作用。

尽管阿佩尔与哈肯的盘问收尾哄动一时，但在那时并莫得获取平淡的招供。东说念主们的质疑主要源于关于遐想机阐明数知识题的不招供。怀疑者们以为阿佩尔与哈肯的门径骨子上是一种穷举覆按法，他们只是用机器覆按了千万种情况，他们的阐明细节守秘在遐想机内，东说念主力是无法进行复核的。数学界命令给出一份纯正明了的数学阐明。30 年自后自英国剑桥大学的年青数学家乔治・贡帝埃（Georges Gonthier）给出四色定理的完全遐想机化阐明，和阿佩尔、哈肯不同的是，他的每一步逻辑阐明齐由遐想机零丁完成。经过多年的遐想机更正，东说念主们渐渐招供了遐想机关于数学责任的匡助，也终于昂扬承认 —— 四色定理成立！

播送色数问题：四色问题的实行

数学家们在盘问四色揣测的历程中，对其他相干的染色问题也进行了想考。举例最知名的 Hadwiger-Nelson 问题：在一张无穷大的平面上进行点染色，使得相邻的点颜料不同。咱们今天先容的是四色问题的另一种变形：Packing 染色（Packing coloring）问题，也叫播送染色（Broadcast coloring）问题。这个问题最早是由克莱姆森大学（Clemson University）教师维恩・戈达德（Wayne Goddard）等东说念主建议的，它其实来源于一个畸形实践的问题 —— 播送电台的频率分派。

图 5：收音机丨图源：会聚

每个播送电台所发出信号的掩盖面积齐是有限的，信号越强的电台它的掩盖范围也越广。收音机的调频（FM）波段很窄，我国的民用收音机调频范围为 FM87.5-108MHz。若是我国每个省市的播送电台齐发出不同频率的信号，赫然是不切实践的。而两个同频率的电台只须在相距饱和远的情况下，它们的信号才不会相互插手。举例，天津相声播送、沈阳齐市播送、泰州交通音乐播送的 FM 频率均为 92.1MHz；而与天津比邻的北京，为了幸免相通信号的叠加插手，其播送电台频率表中并莫得分派 92.1 MHz 的信号波段。

那么若何对不同地区播送电台的频率进行分派，使得咱们不错在幸免插手的前提下，用最短的信号波段区间来掩盖天下的播送系统呢？数学家们又是若何用数学的谈话来界说这件事呢？

与四色定理访佛，给定一个浅易无向图 G=(V， E)，咱们用一个整数聚合 K={1，…，k} 来暗意颜料集，用 d (u， ν) 来界说两个特地 u， ν 之间的距离。沟通映射 f:V →{1，…，k}，它自在对淘气两个特地 u， ν∈V，以及淘气的整数 c∈K，若是 f (u)=f (ν)=c（即特地 u 和 ν 的颜料相通），那么 u， ν 之间的距离 d (u， ν)＞c（也就是说具有相通颜料的两个特地距离饱和远；沟通上文的实践布景，这意味着信号频率相通的播送电台距离饱和远）。这么的映射 f 就组成了一个 packing k-染色决议，能自在 packing 染色决议的最小整数就称为图的 packing 染色数（packing coloring number）χρ(G)。

packing 染色问题其实是在舆图着色问题上加了更强的实现。当 K={1} 时，packing 1-染色问题就是最原始的舆图着色问题，即条目相邻两个特地颜料不同。咱们先来看一个浅易的例子，沟通下图中的一维整数轴，取图 G=Z={0， ±1， ±2，……} 为整数集，每个整数代表一个特地，两个相邻的整数记为两个相邻的特地，两个整数之间的距离界说为他们差值的悉数值。构造映射如下：

因此 d (-2， 2)=4＞3=f (-2)=f (2)。那么此时 χρ(Z)=3。

图 6：一维 Packing 3-染色 图源：参考文件 [8]

上头的例子只是沟通了一维情形，若是咱们沟通二维平面整数集 Z2 的染色问题呢？不错想象，关于一个无穷大的平面，咱们不错把平面诀别红一个个网格（就像一个无穷大的棋盘相通），界说两个网格之间的距离为它们之间的水平距离加上垂直距离，那么若何对它们进行 packing 染色？

2008 年，戈达德和他的四位调和者起初公开了他们关于这个问题的想考，他们完全用东说念主力遐想，得出 9 ≤χρ(Z2)≤ 23；而后又有几位数学家哄骗遐想机补助阐明，渐渐将收尾优化为 13 ≤χρ(Z2)≤ 15。

2022 年，来自卡耐基梅隆大学的盘问生苏威卡塞乌斯（Bernardo Subercaseaux）和教师马金・海勒（Marijn J. H. Heule）两东说念主将这个收尾进一步优化为 14 ≤χρ(Z2)≤ 15。2023 年 1 月，他们布告绝对处罚了平面整数集 Z2 的 packing 染色问题 —— 他们在著述中阐明 χρ(Z2)= 15，即只用 1-15 这 15 个数字就能填充通盘平面网格，并保证两个具有相通数字的网格之间的距离大于这个数字。底下咱们就来浅易先容一下他们的想路和门径。

赫然，对一个无穷网格用穷举法是不现实也毋庸要的。是以，数学家意象对其中的一小部分进行考据，比如取一个 10×10 的网格，后将其复制拼接，若是照旧能够自在对距离的条目，即可得证。苏威卡塞乌斯和海勒起初从这个角度对图进行了简化，但他们并不是沟通浅易的矩形，而是从一个访佛于菱形的有限子图 Dr(ν)={u∈Z2/d (u， ν)≤r} 启航，用 Dr， k 暗意春联图 Dr[(0， 0)] 进行 k-packing 染色，Dr， k， c 暗意春联图 Dr[(0， 0)] 进行 k-packing 染色况且中心点 (0， 0) 赋予颜料 c。若是关于子图 Dr(ν) 不错进行 k-packing 染色，那么一定有 χρ(Z2)≥k；反之 χρ(Z2)≥k+1。不难想象，在 Dr(ν) 这么的有限图中，数字越小出现的次数也就越多；是以在染色历程中不错优先沟通更大的数字的存放位置。比如当 r≤k 时，子图 Dr， k， r 中数字 r 只会在中心点 (0， 0) 出现一次，不然就会禁闭咱们关于距离的条目。这亦然 Dr(ν) 相较于矩形子图的上风。Dr(ν) 其实是一个正四边形，具有很好的对称性，因此苏威卡塞乌斯和海勒把 Dr(ν) 进行八等分（见图 7），在染色时挨次把较大的数字放在 1/8 角域里进行排列，这么就幸免了对染色决议的相通考据。图 8 的 D3， 7， 3 就是一个很直不雅的例子。

图 7：对 Dr(ν) 八等分丨图源：参考文件 [8]

哥也操图 8：D3， 7， 3 染色丨图源：参考文件 [8]

苏威卡塞乌斯和海勒所作念的第二个简化是不再单纯地以格点为一个染色单元。他们在 Dr(ν) 中录取五个相邻的格点，组成一个加号型区域，以这么的加号型区域为一个单元进行染色。也就是说，不错只沟通把某个数字填入这个加号型区域，但暂时不沟通具体放在这个加号型区域的哪个格点。在排列好加号型区域的染色决议后，再对每个格点进行染色。

图 9：加号型区域丨图源：参考文件 [8]

正如同业所评价的：苏威卡塞乌斯和海勒不单是在处罚问题，他们更是在优化组合学的盘问想路。在不懈的发奋下，历时四个月，他们最终攻克了平面 packing 染色问题。

尾声

四色定理困扰了数学界一个多世纪，时于当天也莫得找到信得过纯正的数学阐明。但四色问题的风趣已远超这个问题自己，更重大的是在一代代数学家们勇往直前想考的历程中，所繁衍出来的关于其他学科分支的想考，举例图论、拓扑、遐想机科学等。东说念主们昂扬盘问四色问题，并不是为了果然用四种颜料填补舆图，而是为了探讨“4”这个数字所体现出来的拓扑性质和数学内涵。

行为第一个由遐想机补助阐明的数学定理，四色定事理起初的饱受质疑到平淡招供，这注定了它在数学史上的不凡地位。在东说念主工智能赶紧发展的今天，AI 补助数学阐明成为了大大宗学者眷注的对象。尽管照旧有东说念主以为 AI 的时事化阐明会禁闭数学原始的好意思感，但弗成否定的是先进的本事妙技如实大幅度地简化了数学家的责任。冒昧咱们应该质疑的并不是遐想机自己，而是学者们使用遐想机的派头和门径。

欧几里得在《几何正本》中将公元前 300 年的数学以一种近乎完好意思的谈话界说了出来，呈现给后世一套直不雅严谨的几个系统。那时光来到 21 世纪，东说念主们用精准的标志和机械的端正将数学翻译为遐想机代码，这又何尝不是一次数学文化的传承和迭代呢？

参考文件

[1] 徐俊明.图论过头应用.第 3 版 [M].合肥 ：中国科学本事大学出书社. 2010.

[2]Fritsch R. The Four-Color Theorem[J]. American Mathematical Monthly， 1997， 106(8):785.

[3]Gonthier G. Formal Proof—The Four- Color Theorem[J]. American Mathematical Society Notices， 2009(1).

[4] 王献芬，胡作玄.四色定理的三代阐明.《当然辩证法通信》.2010 年第 4 期 42-48，127， 共 7 页

[5]Goddard， W.， Hedetniemi， S.， Hedetniemi， S.， Harris， J.， Rall， D.: Broadcast chromatic numbers of graphs. Ars Comb. 86 (01 2008)

[6]Bre sar， B.， Ferme， J.， Klav zar， S.， Rall， D.F.: A survey on packing colorings. Discussiones Mathematicae Graph Theory 40(4)， 923 (2020)

[7]Subercaseaux， B.， Heule， M.J.H.: The Packing Chromatic Number of the Infinite Square Grid Is at Least 14. In: Meel， K.S.， Strichman， O. (eds.) 25th International Conference on Theory and Applications of Satisfiability Testing (SAT 2022). Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs)， vol. 236， pp. 21:1–21:16. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum fur Infor- ¨ matik， Dagstuhl， Germany (2022)

[8]Subercaseaux， B.， Heule， M.J.H The Packing Chromatic Number of the Infinite Square Grid is 15. arXiv:2301.09757

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